Area of a triangle via the cross product

막상 3D 상의 임의의 세 점으로 구성된 삼각형의 넓이를 구하려고 하면 좀처럼 마땅한 방법이 떠오르지 않는다. 여기에 비교적 간단한 방법으로 공간상의 삼각형 넓이를 구하는 방법을 소개한다

공간상의 두 벡터 P,Q 가 주어졌을때, 외적(cross product) 은 다음의 식을 만족한다.

위식의 우변을 잘 살펴보면 외적 PxQ 의 크기가 P와 Q에 의해 만들어지는 평행사변형의 넓이와 같음을 알수 있다. 이를 이용하면 꼭지점이 P,Q,R 인 임의의 삼각형의 넓이A를 다음과 같은 식에 의해 계산할 수 있다.

예를 들어 P(4, 2, -1), Q(-1, 4, 2), R(2, 1, -4) 같이 세점으로 구성된 삼각형 넓이를 구해보면,

PQ = [-1 - 4]i + [4- 2]j + [2- (-1)]k = -5i +2j + 3k.

PR = [2 - 4]i + [1 - 2]j + [-4 - (-1)]k = -2i – j – 3k.

PQ X PR = <2*(-3)-3*(-1) , 3*(-2)-(-5)*(-3) , (-5)*(-1)-2*(-2)>
=  <-3,-21,-1>

A=1/2 * sqrt( (-3)*(-3) + (-21)*(-21) + (-1)*(-1) ) = 10.618