막상 3D 상의 임의의 세 점으로 구성된 삼각형의 넓이를 구하려고 하면 좀처럼 마땅한 방법이 떠오르지 않는다. 여기에 비교적 간단한 방법으로 공간상의 삼각형 넓이를 구하는 방법을 소개한다

공간상의 두 벡터 P,Q 가 주어졌을때, 외적(cross product) 은 다음의 식을 만족한다.

PR = [2 - 4]i + [1 - 2]j + [-4 - (-1)]k = -2i - j - 3k.

PQ X PR = <2*(-3)-3*(-1) , 3*(-2)-(-5)*(-3) , (-5)*(-1)-2*(-2)>
               =  <-3,-21,-1>

A=1/2 * sqrt( (-3)*(-3) + (-21)*(-21) + (-1)*(-1) ) = 10.618

동적으로 여러개의 MovieClip 을 원형으로 배열할때 직교좌표계 사용하는 것보다 극좌표계를 사용하면 훨씬 다루기가 쉽다. 또한 x,y 와 같은 점을 다룰경우 Point 클래스를 이용하면 각 점간의 수학적인 연산에 있어 기본적으로 Point  클래스의 메서드를 이용하여 쉽게 처리할 수 있다.

극좌표를 직교좌표로 바꿀때도 기본으로 제공해주는 메서드를 사용하면 된다.

polar (Point.polar method)
public static polar(len: Number, angle: Number) : Point

Converts a pair of polar coordinates to a Cartesian point coordinate.

Parameters
len: Number - The length coordinate of the polar pair.
angle: Number - The angle, in radians, of the polar pair.

Returns
Point - The Cartesian point.

import

var len:Number = 125;
var angleInRadians:Number ;
var cartesianPoint:Point
var unitAngle:Number=15;

for(var i=1 ; i<=24 ; i++){
  var mc:MovieClip=this.attachMovie("M_thumb"+i,"M_thumb"+i,i);
    angleInRadians = Math.PI*unitAngle/180*(i-1);

    cartesianPoint = Point.polar(len, angleInRadians);  // 극 좌표를 직교좌표로 전환
 
 var offsetX:Number=Math.round(cartesianPoint.x);
 var offsetY:Number=Math.round(cartesianPoint.y);
 
 
 mc._x=Stage.width/2+offsetX;
 mc._y=Stage.height/2+offsetY;
 
}



굳이 point 클래스를 사용하지 않고서도 극좌표계를 직교좌표계로 간단한 삼각함수를 사용하여 다음과 같이도 쉽게 바꿀수 있다.

x1=x0+(Math.cos(angle)*radius);
y1=y0+(Math.sin(angle)*radius);

하지만 Point 클래스를 사용하여 좌표를 구성한다면 코드의 일관성에 있어서나 간결성에 있어 상당한 도움이 될것이다.

조절점이 3개일 경우 일반 베지에 곡선의 일반식
B(u) = P₀ * ( 1 - u ) ² + P₁ * 2 * u ( 1 - u ) + P₂ u²

을 이용하면 단순히 베지에 곡선을 그리는 것으로 끝나는 것이 아니라 각 포인트를 추적할 수 있다.
플래시에서 제공하는 curveTo 메서드도 물론 위 공식에 의한 계산으로 곡선을 그리는 것이지만
그리는것 이상의 것은 할 수 없었다.

function bezierPoint(mc:MovieClip,t:Number){
var x = ( 1 - t ) * ( 1 - t ) * mc.p1._x + 2 * t * ( 1 - t ) * mc.p2._x + t * t * mc.p3._x;
var y = ( 1 - t ) * ( 1 - t ) * mc.p1._y + 2 * t * ( 1 - t ) * mc.p2._y + t * t * mc.p3._y;
mc.point_mc._x=x;
mc.point_mc._y=y;
}

control point 와 anchor point  를 지정해 곡선을 그리고 더 나아가 그린 곡선위의 포인트를 계산에 의해 추적이 가능하다. 즉, 스크립트로 모션이 가능하다.

3차원 공간에 있는 N+1개의 조절점(control point) p_k (k=0,1,...,N)를 생각해봅시다. 베지어 parametric 곡선 공식은 다음과 같습니다.

B(u)는 서로 다른 위치에 있는(discrete) N개의 조절점에 의해 얻어지는 곡선을 구하기 위한 연속함수입니다. u=0이면 첫번째 조절점(k=0)에, u=1이면 마지막 조절점(k=N)에 도달합니다. 아래는 N=4, 즉 조절점이 4개인 경우의 곡선 모습입니다.
역자 주 : 첫번째 조절점이 시작점, 마지막 조절점이 끝점이라고 생각하시면 쉽겠죠? ^_^
그리고, N개의 조절점이 아니라 N+1의 조절점이라고 해야 하는 듯.
나중에 나오지만, 조절점의 위치가 모두 각각 다를 필요는 없습니다.

주의점:

• 이 베지어 곡선은, 조절점 중 처음과 끝 점을 빼고는 보통 어느 조절점과도 만나지 않습니다. 공식을 사용하면 B(0) = P₀ 이고 B(1) = P_N 이 되겠지요.

• 곡선은, 항상 조절점으로 이루어진 다각형 안에 들어가게 됩니다. 곡선이 조절점들 사이에서 크게 벗어나거나 하는 일은 없습니다.

• 조절점이 P₀ 하나뿐이라면, 즉 N=0 이라면 모든 u에 대해 B(u) = P₀ 입니다. (역자 주 : u는 0이상 1 이하의 실수)

• 조절점이 P₀ , P₁ 두개뿐이라면, 즉 N=1이라면 이 공식은 두 점 사이를 잇는 선분을 만들어냅니다.
  

  

• 
  

  

  라는 부분은 blending 함수라고 하는데, 이 부분에서 조절점들을 blend해서 곡선을 생성하기 때문입니다.

• blending 함수는 조절점의 갯수보다 차수가 하나 낮은 다항함수입니다. 예를 들어, 3개의 조절점이 있다면 베지어 곡선은 포물선을 그리고, 4개의 조절점으로는 3차곡선을 얻게 됩니다.

• 첫번째 조절점의 위치와 마지막 조절점의 위치가 같을 경우 폐곡선이 생깁니다. 이때 처음의 두 조절점 사이의 접선(tangent)과 끝의 두 조절점의 접선이 같을 경우, first order continuity가 가능합니다. (역자 주 : P₀ - P₁ 간의 기울기와 P_N-1 - P_N 간의 기울기가 같을 경우..라고 보시면 되겠습니다. first order continuity는, 두 곡선의 (1계)도함수가 같은, 즉 접선의 기울기가 서로 같은 상태를 의미합니다.)
  
  

• 비슷한 위치에 여러 조절점이 있을 경우, 그쪽으로 베지어 곡선을 "당기는" 정도가 증가합니다.
  

  

• 조절점의 갯수가 많아지면, 좀더 높은 차수의 식과, 많은 횟수의 팩토리얼 값을 계산해야 합니다. 그래서 보통 긴 곡선을 만들 때는, 그 곡선을 다시 여러 곡선으로 작게 쪼개는 방법을 씁니다. 이렇게 하면, 전체적인 모습에 변화를 주지 않고도 곡선의 부분적인 형태를 쉽게 바꿀 수 있는 효과도 얻게 됩니다. 물론 곡선이 첫번째 조절점에서 시작해서 마지막 조절점에서 끝나기 때문에, (나눠진) 곡선 조각들을 이어붙이기는 쉽습니다. 또한 베지어 곡선에서는 마지막 점에서의 접선이 마지막 두 조절점을 이은 선과 같기 때문에, (나누어진 곡선들의) 첫번째 조절점의 기울기도 맞출 수 있습니다.
  Second order continuity는 보통 불가능합니다. (역자 주 : Second order continuity는, 이계도함수의 값이 같을 때의 상태입니다. 즉, 곡선의 변화율이 같다는 뜻입니다.)
  

  

• 조절점이 2개인 특수한 경우(직선)을 제외하고는, 한 베지어 곡선에 평행한 다른 베지어 곡선을 유도(derive)해내는 것은 불가능한 것으로 알려져 있습니다.

• 베지어 곡선으로 원을 완벽하게 표현할 수는 없습니다.

• coincident parallel curves나 직선인 베지어 곡선의 경우를 제외하고는, 한 베지어 곡선에 평행한 베지어 곡선을 만드는 것은 불가능합니다.

• 조절점이 3개일 경우는 공식이 다음과 같이 정리됩니다 :
  

  B(u) = P₀ * ( 1 - u ) ² + P₁ * 2 * u ( 1 - u ) + P₂ u²

• 조절점이 4개일 경우는 공식이 다음과 같이 정리됩니다 :
  

  B(u) = P₀ * ( 1 - u )³ + P₁ * 3 * u * ( 1 - u )² + P₂ * 3 * u² * ( 1 - u ) + P₃ * u³